Question

如图，在等腰梯形中，，，，，将沿折起，使平面平面.

（1）若是侧棱中点，求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，可得出，再根据线面平行的判定定理即可证明平面；

（2）先利用面面垂直的性质定理得出平面，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求直线与平面所成角的正弦值.

（1）在梯形中，，，，，

，，，

取的中点，连接、，则，且，

则四边形为平行四边形，，

平面，平面，平面；

（2）∵，平面平面，面面，面，面，

以为坐标原点，以、、分别为、、轴，建立空间直角坐标系如图：

则，，，，，

则，，，

设平面的法向量为，

则由，令，则，即，

设直线与平面所成的角为，

则.