Question

已知抛物线焦点为，且，，过作斜率为的直线交抛物线于、两点.

（1）若，，求；

（2）若为坐标原点，为定值，当变化时，始终有，求定值的大小；

（3）若，，，当改变时，求三角形的面积的最大值.

Answer

（1）；（2）或；（3）.

【解析】

（1）由题意知，抛物线的方程为，直线的方程为，联立，，由此利用韦达定理、向量的数量积公式，结合已知条件能求出；

（2）由向量的数量积得，由此能求出；

（3）当时，，由判别式得，由此能求出三角形面积的最大值.

（1）由题意知，抛物线的方程为，

直线的方程为，联立，消去得.

当时，设、，则，，

则，，

，解得；

（2），，为定值，当变化时，始终有，

，解得或；

（3）当时，，由判别式，得，

则，

当时，三角形的面积取最大值.