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已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，直线与椭圆C交于M、N两点． （...

已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，直线与椭圆C交于M、N两点．

（1）求椭圆C的方程；  

（2）若直线与圆相切，证明：为定值

 

（1）（2）详见解析 【解析】 （1）根据椭圆的有关知识可得，从而可得椭圆的方程； （2）分直线的斜率存在与否两种情况求解．①当的斜率不存在时，其方程为，可得、的坐标，由向量的数量积可得；②当的斜率存在时，设其方程为，由直线与圆相切得．然后将直线方程与椭圆方程联立、消元，根据根与系数的关系由数量积可得，从而可得．综上可得为定值． （1）由题意得， ∴椭圆的方程为 （2）①当直线的斜率不存在时，因为直线与圆相切，所以直线方程为． 当时，可得M、N两点坐标分别为， ，. 当时，同理可得； ②当的斜率存在时，设， 由题意得，， 由，消去整理得， ∵直线与圆相交，∴ 设，则，， ， . 综上（定值） ．
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考点分析：
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如图1所示，平面多边形中，四边形为正方形，，，沿着将图形折成图2，其中，为的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求四棱锥的体积.

 

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