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如图,四棱锥的底面是平行四边形,侧面是边长为2的正三角形, ,. (Ⅰ)求证:平...

如图,四棱锥的底面是平行四边形,侧面是边长为2的正三角形, ,.

(Ⅰ)求证:平面平面

(Ⅱ)设是棱上的点,当平面时,求二面角的余弦值.

 

(Ⅰ)见解析; (Ⅱ). 【解析】 (1)取AD中点O,连结OP,OB,可得OP,OP⊥AD,OB⊥AD,且OB.可得OB2+OP2=9=PB2,从而OP⊥面ABCD,即面PAD⊥面ABCD. (2)连结AC交BD于E,则E为AC的中点,连结EQ,当PA∥面BDQ时,PA∥EQ,所以Q是BC中点.由(1)知OA,OB,OP两两垂直,分别以OA,OB,OP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,利用向量求解. 【解析】 (1)取AD中点O,连结OP,OB, ∵△PAD是边长为2的正三角形,∴OP,OP⊥AD, 又AB=AD,∴OB⊥AD,且OB. 于是OB2+OP2=9=PB2,从而OP⊥OB. 所以OP⊥面ABCD,而OP⊂面PAD,所以面PAD⊥面ABCD. (2)连结AC交BD于E,则E为AC的中点,连结EQ,当PA∥面BDQ时,PA∥EQ,所以Q是BC中点. 由(1)知OA,OB,OP两两垂直,分别以OA,OB,OP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系, 则B(0,,0),C(﹣2,,0),D(﹣1,0,0),P(0,0,),Q(﹣1,), ,. 设面BDQ的法向量为,由,取. 面ABD的法向量是,∴cos. ∵二面角A﹣BD﹣Q是钝角,∴二面角A﹣BD﹣Q的余弦值为.  
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