Question

已知椭圆C过点M（1，），两个焦点为A（﹣1，0），B（1，0），O为坐标原点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线l过点A（﹣1，0），且与椭圆C交于P，Q两点，求△BPQ面积的最大值．

Answer

（1）；（2）3.

【解析】

（1）由已知中焦点坐标，可得c值，进而根据椭圆过M点，代入求出a，b可得椭圆的标准方程；

（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及基本不等式，求出三角形面积的最大值．

（1）∵椭圆C的两个焦点为A（﹣1，0），B（1，0），

故c＝1，且椭圆的坐标在x轴上

设椭圆C的方程为：

∵椭圆C过点M（1，），

∴

解得b2＝3，或b2

∴椭圆C的方程为：

（2）设直线l的方程为：x＝ky﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），则

由得：（4+3k2）y2﹣6ky﹣9＝0

则y1+y2，y1•y2

∴S•2c•|y1﹣y2|

令t，（t≥1）

则S，

∵y在[1，+∞）上单调递增，故当t＝1时，y取最小值，此时S取最大值3，

当t=1时取等号，即当k=0时，△BPQ的面积最大值为3.