Question

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，.

（1）若为的中点，求证：面；

（2）若二面角为，设，试确定的值.

Answer

(1)证明见解析 （2）

【解析】

（1）连接，交于，连接．证明．利用直线与平面平行的判定定理证明平面．
（2）以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系． 求出平面的法向量，平面法向量，利用二面角为，求解的值，得到答案.

（1）证明：连接，交于，连接．
∵且，

四边形为平行四边形，且为中点，
又∵点是棱的中点，所以 ．
∵平面，平面.
∴面.

(2) ，为的中点，∴．
∵平面平面，且平面∩平面，
∴ 平面．
∵，

为的中点，∴四边形为平行四边形，∴．
∵,∴  即

以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系.

则

则平面的法向量为

设

设平面的法向量为

则 即

可取

由二面角为

所以

化简得：，解得：或（舍）

所以，则

所以.