Question

如图1，在平行四边形中，，，，以对角线为折痕把折起，使点到图2所示点的位置，使得.

（Ⅰ）求证:平面平面；

(Ⅱ)求二面角的余弦值.

Answer

（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）在图1中，求解三角形可得AB⊥BD，同理CD⊥BD，图2中，在△PAD中，求解三角形可得AD⊥PD，结合PD⊥BD，得到PD⊥平面ABD，进一步得到PD⊥AB，
又AB⊥BD，可得AB⊥平面PBD，由面面垂直的判定可得平面PAB⊥平面PBD；
（Ⅱ）以D为坐标原点，分别以DB，DP所在直线为y，z轴，过点D在平面ABD内平行于AB的直线为x轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PAD与平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B-PA-D的余弦值．

（Ⅰ）图1中，，

由余弦定理得，

∴，∴，

即，

同理.

图2中，在中，，

∴，∴，即

又，∴平面.

平面，∴，

又.∴平面，平面，

∴平面平面.

(Ⅱ)如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，

过点在平面内平行于的直线为轴建立空间直角坐标系.

则，

设平面的法向量为

由 得 令，得平面的一个法向量为

同理可得平面的一个法向量

∴.

又二面角的平面角为锐角，

所以，二面角的余弦值为.