Question

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，椭圆上的点到焦点距离的最大值为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若过点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）椭圆上的点到焦点距离的最大值为，且离心率为，结合，求得的值，进而求椭圆方程；

（Ⅱ）直线和圆锥曲线位置关系问题，往往会将直线方程和圆锥曲线方程联立，根据其位置关系注意判别式符号的隐含条件，同时要善于利用韦达定理对交点设而不求．设直线的方程为，与抛物线方程联立得，因交于两点故，得的不等式，设交点，带入向量式得交点横坐标关系，再结合韦达定理列方程得的方程，与上述不等式联立求实数的取值范围．

（Ⅰ）设所求的椭圆方程为：．

由题意, 所求椭圆方程为：．

（Ⅱ）若过点的斜率不存在，则．

若过点的直线斜率为，即时，直线的方程为．

由．

于是．

因为和椭圆交于不同两点，所以，，所以．

①

设．由已知，则．

②

， 所以③

将③代入②, 得．整理得．

所以, 代入①式, 得．

即，解得．所以或． 综上可得，实数的取值范围为．