Question

在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面平面.，， 且点为的中点．

（1） 求证：平面；

（2） 求与平面所成角的正弦值；

（3） 在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）证明见解析;（2）（3）不存在,理由见解析

【解析】

（1）根据菱形与矩形性质,可得,,因而.所以可知四边形为平行四边形.由中位线定理可证明,即可由线面平行判断定理证明平面;

（2）根据题意建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,并求得和平面的法向量,即可求得与夹角的余弦值,即为与平面所成角的正弦值;

（3）假设线段上存在点,使二面角的大小为.设出点的坐标,并求得平面和平面的法向量,根据夹角为及向量数量积运算,求得的值,再判断是否符合在线段上,即可说明.

（1）证明:因为四边形是菱形,是矩形,

所以,

所以

所以四边形为平行四边形

设对角线的交点为,连接

由点为的中点,点为的中点

根据中位线定理可得,

又因为平面,平面,

所以平面.

（2）因为是矩形,且平面平面.

所以平面.

又因为

所以

则以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系

因为且点为的中点

则

则,

设平面的法向量为

则,代入可得

令,解得

所以

设直线与平面所成角为

则

即直线与平面所成角的正弦值为

（3）假设线段上存在点,使二面角的大小为.设

则

设平面的法向量为

则,代入可得

令,则

又因为平面的法向量为

所以由二面角的大小为

可得

解得

因为,所以不合题意

所以线段上不存在点,使二面角的大小为