Question

已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0)，且离心率为.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设经过点F的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0，y₀)，求y₀的取值范围．

Answer

(1)＋＝1. (2)

【解析】

试题【解析】
(Ⅰ)设椭圆C的半焦距是c.依题意，得c＝1.

因为椭圆C的离心率为，

所以a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3.

故椭圆C的方程为＋＝1.

(Ⅱ)当MN⊥x轴时，显然y0＝0.

当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为

y＝k(x－1)(k≠0)．

由

消去y并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为Q(x3，y3)，

则x1＋x2＝.

所以x3＝＝，y3＝k(x3－1)＝.

线段MN的垂直平分线的方程为

y＋＝－.

在上述方程中，令x＝0，得y0＝＝.

当k<0时，＋4k≤－4；当k>0时，＋4k≥4.

所以－≤y0<0或0