Question

已知函数.

（1）若是偶函数，求的值；

（2）设函数，当时，有且只有一个实数根，求的取值范围；

（3）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，，证明：.

Answer

（1）；（2）；（3）证明见解析

【解析】

（1）根据是偶函数，可得，利用恒等，即可求出结果；

（2）当时，有且只有一实根，可得，然后再利用换元法，设，，转化为，有一实根，根据根的分布，即可求出结果；

（3）设，对分段函数的零点分析可得，即，，消除，整理可得，进而可得，据此即可求证结果.

(1)是偶函数，所以，则.

所以.

(2)当时，有且只有一实根，即，

设，则，

所以，有一实根，

∵恒成立，两根之积小于0，所以，

∴.

(3)不妨设，则，

若，与矛盾，

若，与是单调函数矛盾，

所以；

所以①，②，

由①，得：，由②，得：；

联立①、②消去得：，即，则.

因为，所以，即.