Question

已知数列为公差不为0的等差数列，首项且，，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前n项和为，求的最大值.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）设数列的公差为，由，，成等比数列，得，由等差数列的通项公式可求出值，进而求出数列的通项公式；

（2）法一：令，可求出的取值范围，结合，可得出当时，；当时，；可得出当时，取得最大值，结合等差数列的前项和公式，将代入计算可得出答案.

法二：根据等差数列前n项和公式，求出，得出是关于的二次函数，即可得出当时，取最大值，即可求出最大值.

（1） 设等差数列的公差为，由，，成等比数列，

得，，把代入上式得

解得（舍）或 ，故

（2）解法一：令即解得，

因为，所以当时，当时，

所以当时，取最大值，

因为，所以的最大值为.

解法二：由，得，

因此当时，取得最大值，即的最大值为.