Question

甲与乙午觉醒来后，发现自己的手表因故停止转动，于是他们想借助收音机，利用电台整点报时确认时间．

(1)求甲等待的时间不多于10分钟的概率；

(2)求甲比乙多等待10分钟以上的概率．

Answer

(1) (2)

【解析】

（1）直接由几何概型中的长度型概率计算公式求解．

（2）设甲需要等待的时间为，乙需要等待的时间为，由已知列不等式组，利用几何概型中的面积型概率计算公式求解．

【解析】
（1）因为电台每隔1小时报时一次，

甲在之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，

所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，

而与该时间段的位置无关，符合几何概型的条件.

设事件为“甲等待的时间不多于10分钟”，

则事件恰好是打开收音机的时刻位于时间段内，

因此由几何概型的概率公式得，

所以“甲等待的时间不多于10分钟“的概率为.

（2）因为甲、乙两人起床的时间是任意的，

所以所求事件是一个与两个变量相关的几何概型，且为面积型.

设甲需要等待的时间为，乙需要等待的时间为（10分钟为一个长度单位）.

则由已知可得，对应的基本事件空间为.

甲比乙多等待10分钟以上对应的事件为.

在平面直角坐标系中作出两个不等式组所表示的平面区域，如图所示.

显然表示一个边长为6的正方形的内部及线段，，

其面积.表示的是腰长为5的等腰直角三角形的内部及线段，

其面积，故所求事件的概率为.