Question

已知数列的前n项和为，且.

(1) 证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；

(2) 记，求数列的前n项和.

Answer

(1) 证明见解析，； （2）.

【解析】

（1）运用数列的递推式：n＝1时，a1＝S1，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，计算可得an＝2an﹣1+1，即an+1＝2（an﹣1+1），

由等比数列的定义和通项公式可得所求；

（2），运用错位相减法求和即可

（1）证明：（n∈N*），

可得n＝1时，a1＝S1+1＝2a1，

即a1＝1，

当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，

Sn+n＝2an，Sn﹣1+n﹣1＝2an﹣1，

相减可得an+1＝2an﹣2an﹣1，

可得an＝2an﹣1+1，即an+1＝2（an﹣1+1），

则数列{an+1}为首项为2，公比为2的等比数列，

可得an+1＝2n，即an＝2n﹣1；

（2）

前n项和为Tn＝①

2Tn＝②

① ②相减可得﹣Tn＝2+2(22+…+2n)﹣=

化简可得