Question

已知：在平面四边形ABCD中，，，，（如图1），若将沿对角线BD折叠，使（如图2）.请在图2中解答下列问题.

（1）证明：；

（2）求三棱锥的高.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

(1)在图1中，根据平面几何知识可得BC=1且∠CBD＝90°，在图2中可以得到AC2=AB2+CB2，从而可证明BC⊥平面ABD从而可证明结论.

(2)由（1）有，用等体积法有.

证明：法1：由左图知，

在△BDC中，∠CBD＝135°-45°=90°，

∠BDC＝75°-45°=30°，

，所以BC=1，

又在右图中，因为AC，AB＝AD，所以AC2=AB2+CB2

所以BC⊥AB

又因为∠CBD＝90°，所以BC⊥平面ABD

所以BC⊥AD

法2：如右图，设BD的中点为O，连结A0，CO，因为∠A＝90°，AB＝AD

则

由左图知，在△BDC中，∠CBD＝135°-45°=90°

∠BDC＝75°-45°=30°，所以BC=1，所以

又因为AC，所以AC2=AO2+CO2

所以AO⊥CO，所以AO⊥平面BCD，所以平面ABD⊥平面BCD，又∠CBD=90°

所以BC⊥平面ABD， 所以BC⊥AD

（2）因为AB＝AD，AC，CD2=BC2+BD2=4

所以CD2=AC2+AD2，所以AC⊥AD

设三棱锥B－ADC的高为h，则