Question

在四边形中，，，，，，是上的点，，为的中点．将沿折起到的位置，使得.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值.

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）推导出，，从而得出平面，由此能证明面面；

（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法以及同角三角函数的平方关系能求出二面角的正弦值．

（Ⅰ）在四边形中，，，，，，是上的点，，

，，，，

由余弦定理得，

，，，

，，，，

，平面，

平面，因此，平面平面；

（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，

则、、、，

，，，

设平面的法向量为，

由，取，则，，可得.

同理可得平面的一个法向量为，

，

设二面角的大小为，则.

因此，二面角的正弦值为.