Question

如图，已知椭圆的左、右顶点为，，上、下顶点为，，记四边形的内切圆为.

（1）求圆的标准方程；

（2）已知圆的一条不与坐标轴平行的切线交椭圆于P，M两点.

（i）求证：；

（ii）试探究是否为定值.

Answer

（1）；（2）（i）详见解析；（ii）是定值.

【解析】

（1）由已知可得：直线的方程为：，利用四边形的内切圆为可求得内切圆的半径，问题得解．

（2）（i）设切线，联立直线方程与椭圆方程可得：，即可求得，所以，问题得证．

（ii）①当直线的斜率不存在时，，②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，联立直线方程与椭圆方程可得：，即可求得：，同理可得：，问题得解．

（1）因为，分别为椭圆的右顶点和上顶点，则，坐标分别为，可得直线的方程为：

则原点O到直线的距离为，则圆的半径，

故圆的标准方程为.

（2）（i）可设切线，

将直线的方程代入椭圆可得，由韦达定理得：

则，

又与圆相切，可知原点O到的距离，整理得，

则，所以，故.

（ii）由知，

①当直线的斜率不存在时，显然，此时；

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：

代入椭圆方程可得，则，

故，

同理，

则.

综上可知：为定值.