Question

设函数.

（1）若函数在区间（为自然对数的底数）上有唯一的零点，求实数的取值范围；

（2）若在（为自然对数的底数）上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）或（2）.

【解析】

（1）求得，对的范围分类，即可判断函数的单调性，结合即可判断函数在区间上是否有唯一的零点，问题得解．

（2）将问题转化为：函数在上的最小值小于零.求得，对的范围分类即可判断函数的单调性，从而求得的最小值，问题得解．

（1），其中.

①当时，恒成立，单调递增，

又∵，函数在区间上有唯一的零点，符合题意.

②当时，恒成立，单调递减，

又∵，函数在区间上有唯一的零点，符合题意.

③当时，时，，单调递减，

又∵，∴，

∴函数在区间有唯一的零点，

当时，，单调递增，

当时符合题意，即，

∴时，函数在区间上有唯一的零点；

∴的取值范围是.

（2）在上存在一点，使得成立，等价于在上有解，即函数在上的最小值小于零.

，

①当时，即时，在上单调递减，所以的最小值为，由可得，∵，∴；

②当时，即时，在上单调递增，所以的最小值为，由可得；

③当时，即时，

可得的最小值为，∵，∴，，所以不成立.

综上所述：可得所求的取值范围是.