Question

已知抛物线E：上任意一点P到直线的距离比到焦点F距离大1.

（1）求抛物线E方程；

（2）若A，B，C是抛物线上不同的三点，点是AB中点，且焦点F是重心，求证：.

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由题意可得到直线的距离与到焦点距离相等，由抛物线的定义可得的值，可得抛物线的方程；（2）设，，，，，，运用三角形的重心坐标，可得的坐标，再由抛物线的定义，即可得证．

（1）抛物线上任意一点到直线的距离比到焦点距离大1．

可得到直线的距离与到焦点距离相等，

可得，即，抛物线方程为；

（2）证明：设，，，，，，

由为的重心，可得，，

由为的中点，可得，即有，，

则，

由抛物线的定义可得，

，可得．