Question

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线交抛物线C于A，B两点．

（1）求线段AF的中点M的轨迹方程；

（2）已知△AOB的面积是△BOF面积的3倍，求直线的方程．

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）设线段AF的中点的坐标为，，即可求得，将它们代入即可得解。

（2）设，由△AOB的面积是△BOF面积的3倍可得：直线的斜率存在，且的面积是面积的2倍，即可整理得：，设直线的方程为：，联立直线方程与抛物线方程可得：，，结合即可求得：，问题得解。

（1）设线段AF的中点的坐标为，

由抛物线的方程可得：焦点

由中点坐标公式可得：

即：

又在抛物线上，所以，

将代入上式可得：

整理得：

所以线段AF的中点M的轨迹方程为：

（2）依据题意作出图形，如下：

设，且与的取值一正、一负

因为△AOB的面积是△BOF面积的3倍，所以直线的斜率存在，

且的面积是面积的2倍，

即：，整理得：

设直线的方程为：

联立直线与抛物线方程可得：，整理得：.

所以，

由解得：.

所以直线的方程为：