Question

如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，､､分别是､､的中点.

（1）证明:直线平面；

（2）求直线与面所成角的大小；

（3）求二面角的平面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）（3）

【解析】

（1）取的中点，证明为平行四边形，且，再由三角形中位线证明，最后由线面平行的判定定理证明即可；

（2）作交于点，由线面垂直关系得到直线与面所成角为，再根据是正三角形求解即可；

（3）由（2）知，平面，再证明和分别垂直于，求出直线与面所成角为，再求出和的长度即可求解.

（1）在直四棱柱中，取的中点，连接，，，

因为，，且，所以为平行四边形，所以，

又因为､分别是棱､的中点，

所以，所以，

因为.所以､､､四点共面，

所以平面，又因为平面，

所以直线平面.

（2）因为，，是棱的中点，

所以，为正三角形，

取的中点，则，

又因为直四棱柱中，平面，所以，

所以平面，即直线与面所成角为，

所以，即，

所以直线与面所成角为.

（3）过在平面内作，垂足为，连接.

因为面，即，

且与相交于点，故且，

则为二面角的平面角，

在正三角形中，，

在中，，

∵，∴，

在中，，

，

所以二面角的余弦值为.