Question

已知函数为奇函数，且．

（1）求实数a与b的值；

（2）若函数，数列为正项数列，，且当，时，，设（），记数列和的前项和分别为，且对有恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）根据函数奇偶性得到，再由，得;（2），将原式化简得到，进而得到，数列的前项和，，原恒成立问题转化为对恒成立，对n分奇偶得到最值即可.

（1）因为为奇函数，，

得，又，得.

（2）由（1）知，得，又

，

化简得到：，又，所以，又，

故，则数列的前项和；

又，则数列的前项和为

，

对恒成立对恒成立

对恒成立，令，则

当为奇数时，原不等式对恒成立

对恒成立，又函数在上单增，故

有；

当为偶数时，原不等式对恒成立

对恒成立，又函数在上单增，故

有.

综上得.