Question

某农场有一块等腰直角三角形的空地，其中斜边的长度为400米.为迎接“五一”观光游，欲在边界上选择一点，修建观赏小径，，其中，分别在边界，上，小径，与边界的夹角都为.区域和区域内种植郁金香，区域内种植月季花.

（1）探究：观赏小径与的长度之和是否为定值？请说明理由；

（2）为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径，当点在何处时，三条小径的长度和最小？

（3）求郁金香区域面积和的最小值.

Answer

(1)与的长度之和为定值；

(2) 当点的中点位置时,三条小径的长度和最小为；

(3)

【解析】

(1)在和中分别利用正弦定理即可求得与的长度之和.

(2)在中利用边的余弦定理,再根据两边的积与和的基本不等式求解即可.

(3)根据(1)可得,,进而表达出与,并利用为定值,利用基本不等式求解即可.

(1) 在中,易得,故由正弦定理可得

,即.

同理.故

为定值.

(2) 在中,由余弦定理可得

即,

所以,.又由(1)有,

故,当且仅当时等号成立.

故当点的中点位置时,三条小径的长度和最小为.

(3)由(1)有,故.

同理.

故

.

当且仅当时取得最小值