Question

已知设函数.

（1）求的定义域；

（2）判断的奇偶性并予以证明；

（3）求使的取值范围.

Answer

（1）；

（2）奇函数；

（3）当时为，当时为.

【解析】

(1) 根据对数函数成立的条件即可求出函数的定义域.

(2) 利用函数奇偶性的定义进行判断和证明即可.

(3) 根据对数函数的单调性进行分类讨论解不等式即可得出结果.

(1) ，解得

的定义域为.

(2)根据（1）知，的定义域为，关于原点对称，

又

为奇函数.

(3)若使，即，

可得.

当时，上式可转化为 ，解得；

当时，上式可转化为 ，解得；

再结合的定义域为，

因此满足的取值范围为：

当时为，当时为.