Question

已知椭圆的离心率为，右焦点为,斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.

（1）求椭圆的方程；

（2）求的面积.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）根据椭圆的简单几何性质知，又，写出椭圆的方程；（2）先斜截式设出直线，联立方程组，根据直线与圆锥曲线的位置关系，可得出中点为的坐标，再根据△为等腰三角形知，从而得的斜率为，求出，写出：，并计算，再根据点到直线距离公式求高，即可计算出面积．

（1）由已知得，，解得，又，

所以椭圆的方程为．

（2）设直线的方程为，

由得，①

设、的坐标分别为，（），中点为，

则，，

因为是等腰△的底边，所以．

所以的斜率为，解得，此时方程①为．

解得，，所以，，所以，

此时，点到直线：的距离，

所以△的面积．