Question

椭圆的左、右顶点分别为，，过点作直线交直线于点，交椭圆于另一点．

（1）求该椭圆的离心率的取值范围；

（2）若该椭圆的长轴长为，证明：（为坐标原点）．

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）先表示出离心率的表达式，结合m的范围可求；

（2）根据椭圆的长轴长为可得椭圆的方程，求出的表达式，结合韦达定理可求.

（1）【解析】
，

又，，

．

（2）证明：椭圆的长轴长为，，

易知，，设，，

则，，

直线的方程为，即，

代入椭圆方程，

得．

由韦达定理得．

，，

．