Question

点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面A₁B₁C₁D₁上一点，则的取值范围是__.

Answer

[﹣，0]

【解析】

建立空间直角坐标系，设出点P的坐标为（x，y，z），则由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1，计算•x2﹣x，利用二次函数的性质求得它的值域即可．

【解析】
以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD1所在的直线为z轴，

建立空间直角坐标系，如图所示；

则点A（1，0，0），C1 （0，1，1），

设点P的坐标为（x，y，z），由题意可得 0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1；

∴（1﹣x，﹣y，﹣1），（﹣x，1﹣y，0），

∴•x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0＝x2﹣x+y2﹣y，

由二次函数的性质可得，当x＝y时，•取得最小值为；

当x＝0或1，且y＝0或1时，•取得最大值为0，

则•的取值范围是[，0]．

故答案为：[，0]．