Question

已知函数．

(1)若，求的最大值；

(2)若恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

（1）根据导数可判断出函数在区间[1,e]上单调递增，故可得最大值．（2）由f(x)≤0分离参数可得在区间[1,e]上恒成立，令，根据导数求得函数的最小值后可得所求的范围．

(1)当a＝1时，f(x)＝x＋ln x，

∴f′(x)＝1＋＝．

∵ x∈[1，e]，

∴ f′(x)>0，

∴ f(x)在[1，e]上为增函数，

∴ f(x)max＝f(e)＝e＋1．

(2)∵ f(x)≤0即ax＋ln x≤0对x∈[1，e]恒成立，

∴ a≤－，x∈[1，e]．

令g(x)＝－，x∈[1，e]，

则g′(x)＝，

∵ x∈[1，e]，

∴ g′(x)≤0，当且仅当x=e时等号成立，

∴ g(x)在[1，e]上递减，

∴ g(x)min＝g(e)＝，

∴ a≤－．

∴实数a的取值范围为．