Question

已知函数，．

（Ⅰ）若 ，求的值；

（Ⅱ）讨论函数的单调性．

Answer

(Ⅰ)a=3；(Ⅱ)答案见解析.

【解析】

(Ⅰ)先求出f(x)的导数f′(x)，再根据，即可求得的值；

(Ⅱ)由题意可知,f(x)的定义域为(0,+∞)，，令f′(x)=0,得x1=1,x2=a−1.据此分类讨论函数的单调性即可.

(Ⅰ)由题意可得：，故，∴.

(Ⅱ)∵函数，其中a>1，

∴f(x)的定义域为(0,+∞)，，

令f′(x)=0,得x1=1,x2=a−1.

①若a−1=1,即a=2时,，故f(x)在(0,+∞)单调递增.

②若00得，01.

故f(x)在(a−1,1)单调递减,在(0,a−1),(1,+∞)单调递增.

③若a−1>1，即a>2时，

由f′(x)<0得,10得，0a−1.

故f(x)在(1,a−1)单调递减,在(0,1),(a−1,+∞)单调递增.

综上可得,当a=2时,f(x)在(0,+∞)单调递增；

当12时,f(x)在(1,a−1)单调递减,在(0,1),(a−1,+∞)单调递增.