Question

已知函数，其中为自然对数的底数.

（1）求函数的最小值；

（2）若都有，求证：.

Answer

（1） （2）证明见解析

【解析】

（1）利用导数研究的单调区间，由此求得的最小值.

（2）由不等式分离常数，即.构造函数，利用导数求得的最大值，分析这个最大值求得的取值范围.

（1）∵，∴，

∴当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

∴.

（2）证明：∵，都有，

∴即，

设，，

∴，

令，，∴，∴在上单调递增，

∵，，∴存在唯一使得，

∴当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

∴，

∵，，

∴即，

∴，

令，，

∵，

∴在上单调递增，∴，

∵，，

∴.