Question

正项数列：，满足：是公差为的等差数列，是公比为2的等比数列.

（1）若，求数列的所有项的和；

（2）若，求的最大值；

（3）是否存在正整数，满足?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）84；（2）1033；（3）存在，

【解析】

（1）由题意可得：， 即为：2，4，6，8，10，12，14，16，8，4； 可得的值；

（2）由题意可得，故有；即，即必是2的整数幂，要最大，必需最大，，可得出的最大值；

（3）由是公差为的等差数列，是公比为2的等比数列，可得与，可得k与m的方程，一一验算k的值可得答案.

【解析】
（1）由已知，

故为：2，4，6，8，10，12，14，16；公比为2，则对应的数为2，4，8，16，

从而即为：2，4，6，8，10，12，14，16，8，4；

此时

（2）是首项为2，公差为2 的等差数列，

故，从而，

而首项为2，公比为2的等比数列且，

故有；即，即必是2的整数幂

又，要最大，必需最大，，故的最大值为，

所以，即的最大值为1033

（3）由数列是公差为的等差数列知，，而

是公比为2的等比数列，则，故，即，

又，，则

，即，则，即

显然，则，所以，将，代入验证知，

当时，上式右端为8，等式成立，此时，

综上可得：当且仅当时，存在满足等式