Question

已知定义在上的函数满足：①对任意实数，，都有；②对任意，都有.

（1）求，并证明是上的单调增函数；

（2）若对恒成立，求实数的取值范围；

（3）已知，方程有三个根，若，求实数.

Answer

（1），证明见详解；（2）；（3）.

【解析】

（1）对抽象函数进行赋值，令，，即可求得；根据单调性的定义，作差，比较大小，定号即可证明；需要注意抽象函数在作差时的变形；

（2）利用函数的单调性，将问题转化为绝对值不等式恒成立的问题，再利用绝对值三角不等式求得最值，即可得到的取值范围.

（3）构造函数，从而将问题转化为函数图像交点的问题，数形结合，再利用，即可求解.

（1）令，，则代入条件①，

得：又，则；

设，则

，

因为任意，都有，则，

令，则且，都有，

则对任意都有

则，所以，

所以：是上的单调增函数.

（2）由条件恒成立；

可化为，

即：，

即对恒成立.

因，

故只需.

解得.

（3）设，显然，

∴，

方程等价于

即：，

∵且可改写为：，

由，

又当时，，

∴，画出函数图像如下所示：

于是，∴，

由或，

∵，∴，，，

由已知条件，∴，

即，

又，

∴.