Question

已知如图，矩形所在平面与底面垂直，在直角梯形中，，，，.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）求与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）根据题意可得，再根据线面平行的判定定理即可证明；

（2）根据题意证出，，然后根据线面垂直的判定定理证明即可；

（3）过作交于，结合题意证明为与平面所成角的平面角后，即可求出与平面所成角的正弦值.

（1）四边形为矩形，

，

平面，

平面，

平面.

（2）取中点为，连接，

又，，且，

边形为正方形，为直角三角形，

可得，

又，

，

又平面平面，且四边形为矩形，

平面平面，

平面，

平面，

又平面，

，

，

平面，

平面.

（3）过作交于，

由（2）知平面，且平面，

，

，

平面，

平面，

因此为与平面所成角的平面角，

在中，，，

可得，

又，

，

在中，.

所以与平面所成角的正弦值为：.