Question

设函数，.

（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求a，b的值；

（2）当时，若函数在区间内恰有两个零点，求a的取值范围；

（3），求函数在区间上的最小值.

Answer

（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由题意求出由题意得，且解该方程组即可求出的值；（2）把代入化简，并求出，利用导数求出单调性和极值，由函数在内有两零点列出不等式组，求出不等式的解集可得的取值范围.

（3）表示出，并求出，利用导数求出单调性和极值点，按照在区间内没有极值点，一个极值点，两个极值点分类讨论，结合图象及函数的单调性即可求得其最小值.

（1），，

由线与曲线在它们的交点处具有公共切线，

，，

即，

解得.

（2），

，

，

令，得，，

极小值

在内恰有2个零点，

，即，

解得，

因此a的取值范围是.

（3）

令，解得，

0

0

极大值

极小值

①当，即时，，

在和单调递增，

在上单调递减，

，

，

当时，，，

当时，，.

②，即，

在上单调递减，

.

③，即，

在上单调递减，

在单调递增，

.

综上所述，.