Question

设函数，.

（I）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若方程在上有解，证明：.

Answer

（I）单调增区间，单调递减区间（Ⅱ）详见解析.

【解析】

（I）， 对分类讨论即可得出单调性．

（Ⅱ）函数在有零点，可得方程f（x）=0有解，可得方程f（x）=0有解，可得有解，令，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出的取值范围．

（I）,

时， ，

函数在上单调递增，

当时,，函数在上单调递减.

（Ⅱ）函数在有零点，可得方程有解.

,有解.

令，

设函数，

所以函数在上单增，又，

存在

当时，；当时，

所以函数存在唯一最小值，满足，

有解

，

.