Question

设、为曲线上两点，与的横坐标之和为.

（1）求直线的斜率；

（2）设弦的中点为，过点、分别作抛物线的切线，则两切线的交点为，过点作直线，交抛物线于、两点，连接、.证明：.

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）设点、，可得出，，，然后利用斜率公式可计算出直线的斜率；

（2）利用导数求出和，可证明出，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，求出切线方程，可求出点的坐标，设直线的方程，与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合斜率公式求出，即可证得结论.

（1）设点、，可得出，，，

所以，直线的斜率；

（2）由（1）知，等价于证明，

设直线的方程为，联立，消去得，

由韦达定理得，，

对于函数，求导得，

，，，

抛物线在点处的切线方程为，整理得，

同理，抛物线在点处的切线的方程为，

联立方程组，解得，，.

设、，易知直线的斜率存在，

因为，设直线的方程为，

代入抛物线，整理得，

则，.

所以，

，

，

，，则点，

所以，，

所以.

综上可得，所以.