Question

如图， 是边长为3的正方形，平面，，，BE与平面所成角为．

（Ⅰ）求证：平面 ；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）设点M在线段BD上，且平面BEF，求的长．

Answer

（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

(Ⅰ)利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；

(Ⅱ)建立空间直角坐标系，利用平面的法向量可得二面角的余弦值；

(Ⅲ)结合(Ⅱ)中的结果和空间向量的结论求得点M的坐标即可求得的长．

（Ⅰ）因为平面，所以，

因为是正方形，所以，

又BD，DE交于点E，从而平面．

（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示．

因为BE与平面所成角为，即

所以．由可知，

则，，，，，

所以，

设平面BEF的法向量为，则，

即，令，则

因为平面，所以为平面的法向量，，

所以．

因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．

（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设．则，

因为平面BEF，所以，

即，解得．

此时，点M坐标为，，符合题意．