Question

如图，在中，，P为AB上一动点，交于AC于点D，现将沿PD翻折至，使平面平面PBCD.

（1）若，求棱锥的体积；

（2）若点P为AB的中点，求证：平面平面.

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由面面垂直性质定理得线面垂直，从而得棱锥的高，由体积公式可计算体积；

（2）取、的中点分别为E、F，连接DE、EF、PF，首先由等腰三角形性质得，证明平面后得，由中点证明，再由平行得接着有线面垂直，面面垂直．

（1），有.

，且平面平面PBCD，

半面PBCD.又，

（2）取、的中点分别为E、F，连接DE、EF、PF，

则有，且，

四边形DEFP为平行四边形，则.

又，即.

由（1）知平面PBCD，则.

又

平面，则.

又，则

平面，而平面，

平面平面.