Question

已知圆： 经过椭圆： 的左右焦点，且与椭圆在第一象限的交点为，且三点共线，直线交椭圆于， 两点，且（）.

（1）求椭圆的方程；

（2）当三角形的面积取得最大值时，求直线的方程.

Answer

（1）；（2）．

【解析】试题（1）求椭圆标准方程，由圆与轴的交点，可求得，利用三点共线，由是圆的直径，从而，利用勾股定理可求得，从而由椭圆的定义可求得，于是得，椭圆方程即得；

（2）是确定的， ，说明，于是直线斜率已知，设出其方程为，代入椭圆方程，消去得的二次方程，从而有（分别是的横坐标），由直线与圆锥曲线相交的弦长公式可求得弦长，再由点到直线距离公式求出到直线的距离，可计算出的面积，最后利用基本不等式可求得面积的最大值，及此时的值，得直线方程．

解析：

（1）

如图，圆经过椭圆的左、右焦点，，所以，解得,因为， ，三点共线，所以为圆的直径， 所以,因为，所以.所以,由，得．所以椭圆的方程为.

（2）由（1）得，点的坐标为，因为,所以直线的斜率为，设直线的方程为,联立，得,设，由，得．因为

所以, 又点到直线的距离为，.当且仅当，即时，等号成立,所以直线的方程为或.