Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且（n∈N^*）．

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）已知等比数列{b_n}是递增的，且首项b₁和公比q分别是方程（x²﹣4）（x²﹣1）＝0实根，求数列的前n项和为T_n．

Answer

（Ⅰ）an＝2n+1，n∈N；（Ⅱ）Tn＝8﹣（n+2）•（）n﹣2．

【解析】

（Ⅰ）利用an＝Sn﹣Sn﹣1即得解；

（Ⅱ）先求解方程得到b1，q，得到bn＝n•（）n﹣2，乘公比错位相减法即可得解.

（Ⅰ）（n∈N*），可得a1＝S1＝3，

n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+2n﹣（n﹣1）2﹣2（n﹣1）＝2n+1，

上式对n＝1也成立，则an＝2n+1，n∈N；

（Ⅱ）等比数列{bn}是递增的，可得q＞1，b1＞0，

且首项b1和公比q分别是方程（x2﹣4）（x2﹣1）＝0实根，

可得b1＝1，q＝2，

则bn＝2n﹣1，n•（）n﹣2，

Tn＝1•（）﹣1+2•（）0+3•（）1+…+n•（）n﹣2，

Tn＝1•（）0+2•（）1+3•（）2+…+n•（）n﹣1，

两式相减可得Tn＝（）﹣1+（）0+（）1+…+（）n﹣2﹣n•（）n﹣1

n•（）n﹣1，

化简可得Tn＝8﹣（n+2）•（）n﹣2．