Question

如图，EB垂直于菱形ABCD所在平面，且EB＝BC＝2，∠BAD＝60°，点G、H分别为线段CD、DA的中点，M为BE上的动点．

（Ⅰ）求证：GH⊥DM；

（Ⅱ）当三棱锥D﹣MGH的体积最大时，求三角形MGH的面积．

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由BE⊥AC，BD⊥AC得到AC⊥平面BDE，再由GH∥AC，得到GH⊥平面BDE，故得证.

（Ⅱ）由于BM⊥平面ABCD，故，当点M与点E重合时，BM取得最大值，故（VD﹣MGH）max，即得解.

（Ⅰ）证明：连接AC、BD相交于点O．

∵BE⊥平面ABCD．而AC⊂平面ABCD，∴BE⊥AC．

又∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC．

∵BD∩BE＝B，∴AC⊥平面BDE．

∵G、H分别为DC、AD的中点，

∴GH∥AC，则GH⊥平面BDE．

而DM⊂平面BDE，∴GH⊥DM．

（II）【解析】
菱形ABCD中，∠BAD＝60°，得，∠ADC＝120°．

∵DG＝DH＝1，

∴S△DGH═，

∵BE⊥平面ABCD，即BM⊥平面ABCD，

∴BM．

当点M与点E重合时，BM取得最大值2，此时（VD﹣MGH）max．

且MG＝MH，GH，则S△MGH