Question

已知函数f（x）＝xlnx﹣x+1，g（x）＝e^x﹣ax，a∈R．

（Ⅰ）求f（x）的最小值；

（Ⅱ）若g（x）≥1在R上恒成立，求a的值；

（Ⅲ）求证：．

Answer

（Ⅰ）0（Ⅱ）a＝1；（III）见解析

【解析】

（I）对f(x)求导，分析导函数的正负，得到函数f(x)的单调性，即得解.

（Ⅱ）由g（x）＝ex﹣ax≥1恒成立可得ax+1≤ex恒成立，可求得函数y＝h（x）在（0，1）处的切线方程为y＝x+1，故可得证.

（III）由（Ⅱ）两边取对数得ln（x+1）≤x，令x，可得证.

（I）f'（x）＝lnx，

∴当0＜x＜1时，f'（x）＜0，x＞1时，f'（x）＞0，

∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，

∴当x＝1时，f（x）取得最小值f（1）＝0；

（II）由g（x）＝ex﹣ax≥1恒成立可得ax+1≤ex恒成立，

设h（x）＝ex，则h'（x）＝ex，故h'（0）＝1，h（0）＝1，

∴函数y＝h（x）在（0，1）处的切线方程为y＝x+1，

∴x+1≤ex恒成立．

∴a＝1；

（III）由（II）可知，x+1≤ex恒成立，

两边取对数得ln（x+1）≤x，令x（i＝1，2，3…n）累加得

1，

所以原不等式成立．