Question

设函数.

（1）求函数的极小值；

（2）证明：当时，不等式恒成立.

Answer

（1）0；（2）见解析.

【解析】

（1）对函数求导，分析函数的单调性，即可求出极小值；

（2）方法一：不等式恒成立等价于恒成立. 令，对函数求导，分析函数的单调性，即可证明. 方法二：令.通过对函数二次求导，分析函数的单调性，即可证明.

（1），

则，令，则.

当时，，为单调递减函数；当时，，

为单调增函数；所以当时，函数取得极小值.

（2）方法一：

当时，不等式恒成立

等价于恒成立.

令，

则.

所以，当时，，

所以，在上单调递增.

，

所以.

即当时，恒成立.

方法二：当时，不等式恒成立

等价于恒成立，

即恒成立，

令，

则.

令，

则.

因为，所以，

所以在上单调递增，所以，

故在上单调递增，

所以，

即.

所以，当时，不等式成立.