Question

如图，直线不与坐标轴垂直，且与抛物线有且只有一个公共点.

（1）当点的坐标为时，求直线的方程；

（2）设直线与轴的交点为，过点且与直线垂直的直线交抛物线于，两点.当时，求点的坐标.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）设直线方程为，联立抛物线方程，方程组一解时即可求解；

（2）设点的坐标为，的方程为，联立抛物线方程，利用判别式为0可得，求出坐标，写出直线的方程，联立抛物线方程，由根与系数关系及即可求解.

（1）设直线的斜率为，则的方程为，

联立方程组，消去，得，

由已知可得，

解得，

故所求直线的方程为.

（2）设点的坐标为，直线的斜率为，

则的方程为，

联立方程组，

消去，得，

由已知可得，得，

所以，点的纵坐标，

从而点的纵坐标为，

由可知，直线的斜率为，

所以直线的方程为.

设，，

将直线的方程代入，得，

所以，

，

又，，，

由，得，

即，

解得，

所以点的坐标为.