Question

如图，在四棱锥中，平面，四边形为矩形，是的中点，是的中点，点在线段上且．

（1）证明平面；

（2）当为多大时，在线段上存在点使得平面且与平面所成角为同时成立？

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设，，，利用向量法即可证明平面.

（2）取中点，连结，易得平面，由，转化为与平面所成角为，求出平面的法向量，根据线面角公式即可得到，从而得到当时，在线段上存在中点，使得平面，且与平面所成角为同时成立.

（1）在四棱锥中，平面，四边形为矩形，

是的中点，是的中点，点在线段上且.

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设，，，

则，，，，

，，

，平面的法向量，

因为，平面，

所以平面.

（2）

取中点，连结，因为是中点，

所以，平面，

因为与平面所成角为同时成立，

所以与平面所成角为，

由（1）得，，，，

，，

设平面的法向量，

则，取，得，

因为与平面所成角为，

.

解得，即，

所以当时，在线段上存在中点，

使得平面，且与平面所成角为同时成立.