Question

设椭圆的右焦点为，过点作直线与椭圆交于，两点，且坐标原点到直线的距离为1．

（1）当时，求直线的方程；

（2）求面积的最大值．

Answer

（1），或；（2）

【解析】

（1）首先设出直线方程，根据题意得到，即，直线的方程为，与椭圆联立求出点坐标，再直线的方程即可.

（2）首先设直线的方程为，，，根据原点到直线的距离为1得到，再联立直线与椭圆方程，根据韦达定理即可得到面积的表达式，求其最大值即可.

（1）椭圆的右焦点为，则，，

当时，设直线的方程为，

因为坐标原点到直线的距离为1，

所以，解得，直线的方程为，

，解得，所以点或，

所以直线的方程为，或，

即，或；

（2）设点的直线的方程为，，.

由坐标原点到直线的距离为1，

所以，解得.

由，消可得，

，，

所以，

因为

所以，

当或时，，

令，，

则，当，时，取“”号.

当时，，

令，，

则，

综上所述，当时，面积的最大值为．