Question

数列，满足下列条件：①，；②当时，满足：时，，；时，，.

（1）若，，求和的值，并猜想数列可能的通项公式（不需证明）；

（2）若，，是满足的最大整数，求的值.

Answer

（1）见解析；（2）11.

【解析】

（1）利用题中的条件，分别令，求出和的值，并计算，，，，根据这四项，猜想数列可能的通项公式；

（2）用反证法说明时，，由此推出，从而得到通项公式，写出时通项公式，再由是满足的最大整数，得到，解之可得整数.

（1），，故，

∴，，，

，，，

，，

∴，，，，

故，，，

猜想：.

（2），，

，

当时，假设存在使得，

则有，与“是满足的最大整数”矛盾，

假设不成立，

时，恒有，，，

，，

是以为首项，为公比的等比数列，

，，

∵，，

时，，

，，

时，，

时，是单调递减数列，

是满足的最大整数，

时，恒成立；时，，，

，

即 ，

解得，

为正整数，，

.