Question

如图，在四棱锥O﹣ABCD中，OA⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，且OA＝2，M，N分别为OA，BC的中点.

（1）求证：直线MN平面OCD；

（2）求点B到平面DMN的距离.

Answer

（1）证明见详解；（2）

【解析】

（1）构造平面，使之与平面平行，再通过面面平行证明线面平行即可；

（2）通过变换顶点，利用等体积法求得点到平面的距离.

（1）取中点为，连接，如下图所示：

在中，因为分别是的中点，

故//；

在正方形中，因为分别是的中点，

故//；

又因为，平面，

，平面，

故平面//平面，

又因为平面，故//平面，即证.

（2）连接，如下图所示：

因为点为中点，故

又因为平面，且

故.

又在中，容易知，

故边上的高为，

故.

设点到平面的距离为，

则

解得.

故点到平面的距离为.