Question

已知函数.

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的极值.

Answer

(1) x＋y－2＝0；(2) 当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a无极大

【解析】

【解析】
函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.

(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，

f′(x)＝1－(x>0)，

因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，

所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.

(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：

①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；

②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，

又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；

当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，

从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．

综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；

当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．