Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线相切．

(1)求圆O的方程．

(2)直线与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点M，使得四边形为菱形？若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．

Answer

（1）x2+y2=4.（2）直线l的斜率为±2.

【解析】

试题（1）先根据圆心到切线距离等于半径求，再根据标准式写圆方程（2）由题意得OM与AB互相垂直且平分,即得原点O到直线l的距离，再根据点到直线距离公式求直线斜率

试题解析：（1）设圆O的半径长为r,因为直线x-y-4=0与圆O相切,所以 r==2.

所以圆O的方程为 x2+y2=4.

（2）假设存在点M,使得四边形OAMB为菱形,则OM与AB互相垂直且平分,

所以原点O到直线l:y=kx+3的距离d=|OM|=1.所以=1,解得k2=8,即k=±2,经验证满足条件.所以存在点M,使得四边形OAMB为菱形，此时直线l的斜率为±2.